Изобразите в виде двух пересекающихся кругов

Описание и применение кругов Эйлера, примеры решения задач с ответами для дошкольников и школьников

Круги Эйлера фигуры, условно изображающие множества

кругами Эйлера называют фигуры, условно изображающие множества и наглядно иллюстрирующие некоторые свойства операций над множествами. В литературе круги Эйлера иногда называют диаграммами Вен на (или диаграммами Эйлера — Венна). Круги Эйлера, иллюстрирующие основные операции над множествами, представлены на рис. 1.2 (множества, полученные в результате этих операций, отмечены штриховкой). АПВ 00 АЬВ Рис. 1.2 Пример 1.8. При помощи кругов Эйлера установим сначаг ла справедливость первого соотношения, выражающего свойство дистрибутивности операций объединения и пересечения множеств,

• На рис. 1.3,а вертикально заштрихован круг, изображающий множество А) а горизонтально — область, отвечающая пересечению множеств В и С. В итоге тем или иным способом заштрихована область, изображающая множество A U (БПС). На рис. 1.3,5 вертикально заштрихована область, соответствующая объединению множеств Л и Б, а горизонтально — объединению множеств Л и С, так что обоими способами заштрихована область, изображающая множество (A U В) П (A U С) и совпадающая с областью, заштрихованной каким-либо способом на рис. 1.3,а. Таким образом, круги Эйлера позволяют установить справедливость (1.10).
• Теперь рассмотрим второй закон де Моргана (1.7) Заштрихованная на рис. 1.4,а область изображает множество ЛИВ, а незаштрихованная часть прямоугольника Q (внешняя по отношению к заштрихованной) соответствует множеству ЛПВ. На рис. 1.4,5 части прямоугольника 12, заштрихованные вертикально и горизонтально, отвечают соответственно А и В. Тогда множеству Ли В отвечает область, заштрихованная хотя бы одним из указанных способов. Она совпадает с областью, не заштрихованной на рис. 1.4,а и отвечающей множеству ЛПБ, что устанавливает справедливость (1.11). Вопросы и задачи 1.1.

Запись m|n, где m,n € Z, означает, что число m нацело делит число п (то – делитель п). Описать заданные множества при условии, что х € N: 1.2. Доказать следующие соотношения и проиллюстрировать их кругами Эйлера: . 1.3. Установить, в каком отношении (X С Y, X Э У или X = Y) находятся множества X и У, если: а Использовать для иллюстрации круги Эйлера. 1.4. Пусть Aj – множество точек, образующих стороны некоторого треугольника, вписанного в заданную окружность. Описать объединение и пересечение всех таких множеств, если треугольники: а) произвольные; б) правильные; в) прямоугольные. Найти IK и flAi ieN i en для заданных семейств множеств: 1.6. Указать, какие из представленных ниже соотношений неверны, и объяснить, почему: 1.7.

Источник: http://rg-gaming.ru/kompjutery/izobrazite-v-vide-dvuh-peresekajushhihsja-krugov

Описание схемы кругов Эйлера

Круги Эйлера – геометрические конструкции, применяемые для упрощения восприятия логических связей между предметами, понятиями и явлениями.

Делятся на группы, в зависимости от типа отношений между множествами:

• равнозначные (рис.1);
• пересекающиеся (рис.2);
• подчиненные (рис.3);
• соподчиненные (рис.4);
• противоречащие (рис.5);
• противоположные (рис.6).

Типовой пример такой диаграммы:

Наибольшее множество, отмеченное зеленым цветом, представляет собой все варианты игрушек.

Одним из вариантов игрушек являются конструкторы. Они выделены голубым овалом. Конструкторы являются отдельным множеством, и, одновременно, частью множества «Игрушки».

Заводные игрушки также являются частью множества «Игрушки», но не относятся к множеству «Конструкторы». Поэтому, они выделяются фиолетовым овалом.  А вот множество «Заводных автомобилей» является самостоятельным, но при этом, является подмножеством «Заводных игрушек».

Метод был разработан известным швейцарским и российским математиком Леонардом Эйлером.

При помощи этого метода ученый решал сложнейшие математические задачи. Применение простых фигур позволяло свести решение любой, даже самой сложной задачи, к символической логике – максимальному упрощению рассуждений.

Позже, данный способ был доработан англичанином Джоном Венном, который ввел понятие пересечения нескольких множеств.

Методика очень проста в использовании — круги Эйлера для дошкольников от 4-5 лет начинают преподавать уже в детском саду. При этом, она же на столько удобна, что применяется даже в высшей академической среде.

Источник: http://mozgportal.ru/razvitie-mozga/uprazhneniya/krugi-ejlera-i-primery-zadach-na-logiku.html

Ваш комментарий к вопросу:

Источник: http://free-otvet.ru/2287713/изобразите-помощи-кругов-пересекающихся-множества-сделайте

ГДЗ Математика 6 класс Бунимович, Кузнецова, Минаева

Расскажите о всех случаях взаимного расположения двух окружностей и изобразите их от руки.

Решение

1) Меньшая окружность целиком находится вне большей.

 
2) Меньшая окружность касается большей, а расстояние между центрами равно сумме радиусов (внешнее касание).

 
3) Окружности пересекаются.

 
4) Меньшая окружность касается большей, а расстояние между центрами равно разности радиусов (внутреннее касание).

 
5) Меньшая окружность лежит внутри большей.

• Предыдущее
• Следующее

Источник: http://reshalka.com/uchebniki/6-klass/matematika/bunimovich/380

Применение кругов Эйлера

Основная цель использования диаграмм – практическое решение задач по объединению или пересечению множеств.

Области применения: математика, логика, менеджмент, статистика, информатика и др. На самом деле, их значительно больше, но перечислить все попросту невозможно.

Диаграммы делятся на два вида.

Первый описывает объединение понятий, вложенность одного в другое. Пример приведен в статье выше.

Второй описывает пересечения двух разных множеств некоторыми общими признаками. Один из примеров

Источник: http://mozgportal.ru/razvitie-mozga/uprazhneniya/krugi-ejlera-i-primery-zadach-na-logiku.html

Примеры решения в задачах

Указать, какие из множеств равны между собой: . 1.8. Найти множества Ли В, АГВ, АВ, ВА и изобразить их на числовой прямой, если А = ( 1.0. Считая отрезок [0, 1] универсальным множеством, найти и изобразить на числовой прямой дополнения множеств: . 1.10. По приведенным ниже описаниям множеств людей подберите для каждой записи высказывания на языке множеств подходящую пословицу или поговорку. Надеемся, что это позволит лишний раз проанализировать смысл народных изречений. Например, если Z —множество людей, которые сами как следует не знают того, о чем говорят, то запись х £ Z можно отнести к пословице „Слышал звон, да не знает, где он, поскольку именно так говорят о человеке, наделенном указанным свойством (в данном случае — характеристическим свойством множества Z, см. 1.1).

Множества людей ft – универсальное множество всех людей, Л – добрые, 5е В – незаурядные, с большими способностями, С – глупые, D – умные, Е – поступающие по своему, не слушающие советов, F – связанные корыстными отношениями, G – много обещающие, Я – не выполняющие своих обещаний, J – злоупотребляющие своим служебным положением, К – слишком важничающие, задающиеся, L – вмешивающиеся не в свое дело, М – предприимчивые, ловкие, умеющие устраиваться, Р – берущиеся за несколько дел сразу, Q – плодотворно работающие, S – ошибающиеся, Т – чувствующие вину и возможность расплаты, U – не добивающиеся результатов, V – выдающие себя своим поведением, W- недальновидные, X – действующие заодно, не предающие друг друга, У – бывалые, опытные люди. Запись высказываний на языке множеств хеК; xeGnH; xCBCiQ; x£jrU; xeJ; хеМ; хеСПЕ; xCTnV; xEPDU; xGE; x € FnX; xeYnS; xeDOW. Пословицы и поговорки – Бодливой корове бог рог не дает. – Большому кораблю — большое плавание. – Вольному воля. – Ворон ворону глаз не выклюет. – Дуракам закон не писан. – За двумя зайцами погонишься, ни одного не поймаешь. –

• Знает кошка, чье мясо съела. – Знай сверчок свой шесток. – И на старуху бывает проруха. – Курице не тетка, свинье не сестра. – Кто смел, тот и съел. – На всякого мудреца довольно простоты. – Наделала синица славы, а море не зажгла. – Свет не без добрых людей. 1.11.
• Доказать справедливость соотношений (1.2). 1.12.
• Доказать справедливость второго из соотношений свойства дистрибутивности операций объединения и пересечения непосредственно и методом от противного. 1.13. Применив метод математической индукции, докаг -эать, что для любого натурального числа п справедливы неравенства п^2п

1 и (l + :r)n ^ 1 + ns, Vs>-1 (неравенство Бернулли). 1.14.

Доказать, что среднее арифметическое п положительных действительных чисел не меньше их среднего геометрического, т.е. п 1.15. Брауну, Джонсу и Смиту решение задач по высшей математике предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун показал, что это был синий „Бьюик», Джонс — голубой „Крайслер», а Смит — „Форд Мустанг», но не синий.

Какого цвета был автомобиль и какой марки, если известно, что, желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо только марку машины, либо только ее цвет? 1.1в. Для полярной экспедиции из восьми претендентов А, В, С, Д J5, F, G и Я надо отобрать шесть специалистов: биолога, гидролога, синоптика, радиста, механика и врача. Обязанности биолога могут выполнять Е и G, гидролога — В и F, синоптика — F и G, радиста — С и Д механика — С и Я, врача — А и Д но каждый из них, если будет в экспедиции, сможет выполнять лишь одну обязанность. Кого и кем следует взять в экспедицию, если F не может ехать без D — без Я и без С, С не может ехать с G, а Д — с В?

Информация расположенная на данном сайте несет информационный характер и используется для учебных целей.
© Брильёнова Наталья Валерьевна

Источник: http://rg-gaming.ru/kompjutery/izobrazite-v-vide-dvuh-peresekajushhihsja-krugov

Виды совместимости понятий

1) Тождество (равнообъемность, равнозначность)

В отношении тождества находятся такие понятия, объемы которых полностью совпадают.

Например:

Москва (А), Столица России (В);

Преступление (А), Общественно опасное деяние (В).

2) Пересечение

В отношении пересечения находятся понятия, объемы которых частич­но совпадают.

Преподаватель (А), Женщина (В).

Не каждый преподаватель является женщиной. Так же как и не каждая женщина является препо­давателем, но есть такие преподаватели, которые одновременно являются женщинами.

3) Подчинение

В отношении подчинения находятся такие понятия, объем одного из ко­торых полностью входит в объем другого, но не исчерпывает его.

При этом понятие с большим объемом (ро­довое) называется подчиняющим (А), понятие с меньшим объемом (видовое) – подчиненным (В).

Преступление (А), Кража (В).

Источник: http://kanal21.ru/krugi-ejlera-v-logike/

Примеры задач и решения

Рассмотрим задачи, в которых помогают разбираться круги Эйлера, примеры решения задач по логике и математике.

Задачи для дошкольников

Первые в очереди: круги Эйлера для дошкольников, задания с ответами на которые помогут понять, как малыши впервые знакомятся с методикой упрощения сложных математических и логических задач.

Задание №1 – начальный уровень.

Цель: научить ребенка определять предмет, наиболее соответствующий одновременно двум свойствам.

Правильный ответ: кубик Рубика.

Задание №2

Правильный ответ: лягушка.

Задание №3

Правильный ответ: груша.

Задание №4 – средний уровень.

Задания усложняются тем, что используется больше множеств.

Правильный ответ: Солнце.

Задание №5

Правильный ответ: платье.

Задание №6

Правильный ответ: полезные.

Задания для школьников

Следующие задачи по логике с ответами, круги Эйлера в которых являются основой для решения, касаются младших школьников. Подобные задания обучают детей разбирать логические пересечения по определенным признакам.

Задание №1

35 учеников зарегистрированы в школьной или городской библиотеках. Из них 25 регулярно посещают школьную библиотеку, а 20 – городскую.

Сколько учеников:

• Посещают обе библиотеки?
• Не посещают городскую библиотеку?
• Не посещают школьную библиотеку?
• Ходят только в городскую библиотеку?
• Ходят только в школьную библиотеку?

Ответ:

• Определим количество посетителей двух библиотек – общая часть на диаграмме:

(25 + 20) – 35 = 10.

• Ученики, не посещающие городскую библиотеку:

35 – 20 = 15 – левая сектор голубой зоны.

• Ученики, не посещающие школьную библиотеку:

35 – 25 = 10 – правый сектор фиолетовой.

• Посетители только городской библиотеки:

35 – 25 = 10 – также, правый сектор фиолетовой.

• Посетители только школьной библиотеки:

35 – 20 = 15 – также, левый сектор голубой.

Задание №2 – также предназначено для младших классов, но является более сложным.

В 7-А учится 38 человек. Ученики увлекаются разными спортивными играми: 16 – баскетболом, 17 – хоккеем, 18 – футболом. Одновременно баскетбол и хоккей любят 4 человека, баскетбол и футбол – 3, хоккей и футбол – 5, а 3 ученика не интересуются спортом.

Вопрос:

1. Есть ли ученики, увлекающиеся всеми спортивными играми?
2. Какое количество школьников интересуется только одной из спортивных игр?

Ответ:

Все ученики класса – наибольшая окружность.

Круг «Б» — баскетболисты, «Х» — хоккеисты, «Ф» — футболисты, «Z» — универсальные спортсмены. Трое неспортивных учеников просто находятся в общем круге.

Баскетболисты, входящие в множество «Б», но не входящие в зоны пересечения со множествами «Х» и «Ф».

16 – (4 + Z + 3) = 9 – Z.

По аналогии, находим количество хоккеистов.

17 – (4 + Z + 5) = 8 – Z.

Футболисты.

18 – (3 + Z + 5) = 10 – Z.

Чтобы пределить значение Z, нужно суммировать множества учеников.

3 + (9 – Z) + (8 – Z) + (10 – Z) + 3 + 4 + 5 + Z = 38;

42 – 2*Z = 38;

Z = 2.

Соответственно, Б = 7, Ф = 8, Х = 6.

Применение круговых диаграмм позволяет наглядно продемонстрировать все взаимоотношения разных групп учеников.

Метод схематического изображения взаимоотношений множеств – не просто увлекательная вещь. Круги Эйлера, примеры решения задач, логика которых неочевидна, показывают, что метод может использоваться не только при развязывании математических заданий, но и находить выход из житейских ситуаций.

Источник: http://mozgportal.ru/razvitie-mozga/uprazhneniya/krugi-ejlera-i-primery-zadach-na-logiku.html

Виды несовместимости понятий

1) Соподчинение

В отношении соподчинения находятся два или более непересекающихся понятия, принадлежащих общему родовому понятию. Другими словами, это отношение двух и более видов к одному роду.Дерево (А) Сосна (В) Береза (С)

2) Противоположность

В отношении противоположности находятся понятия, которые явля­ются видами одного и того же рода, при этом одно из них содержит какие-то признаки, а другое эти признаки исключает и заменяет противоположными признаками. Объемы понятий (В и С) в объеме родового по­нятия (А) занимают наиболее удаленные части.Чай (А) Горячий (В) Холодный (С) В сумме объемы противоположных понятий не исчерпывают объем родо­вого понятия. В середине круга оставлено место для любого другого среднего, промежуточного понятия. Например, понятия «правда» и «ложь» являются противоположными понятиями, но между ними может быть понятие «заблуж­дение», которое является промежуточным.Противоположные понятия можно рассматривать как соподчиненные.

3) Противоречие

В отношении противоречия находятся такие два понятия, которые являются видами одного и то­го же рода, при этом одно понятие указывает на не­которые признаки, а другое эти признаки исключает, но ничем другим не заменяет.

Виновный (А) Невиновный (не-А)

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.
Решение

Для решения задачи отобразим множества Тортов и Пирогов в виде кругов Эйлера.

Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А, Б, В).

Из условия задачи следует:

Торты │Пироги = А+Б+В = 12000

Торты & Пироги = Б = 6500

Пироги = Б+В = 7700

Чтобы найти количество Тортов (Торты = А+Б), надо найти сектор А, для этого из общего множества (Торты│Пироги) отнимем множество Пироги.

Торты│Пироги – Пироги = А+Б+В-(Б+В) = А = 1200 – 7700 = 4300

Сектор А равен 4300, следовательно

Торты = А+Б = 4300+6500 = 10800

Задача 3

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросуВыпечка?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.
Решение

Для решения задачи отобразим множестваПироженых и Выпечек в виде кругов Эйлера.

Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А, Б, В).

Из условия задачи следует:

Пироженое & Выпечка = Б = 5100

Пироженое = А+Б = 9700

Пироженое │ Выпечка = А+Б+В = 14200

Чтобы найти количество Выпечки (Выпечка = Б+В), надо найти секторВ, для этого из общего множества (Пироженое │ Выпечка ) отнимем множество Пироженое. Пироженое │ Выпечка – Пироженное = А+Б+В-(А+Б) = В = 14200–9700 = 4500

Сектор В равен 4500, следовательно Выпечка = Б + В = 4500+5100 =9600

Задача 4
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

Решение

Представим множества овчарок, терьеров и спаниелей в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А, Б, В, Г).

Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:

спаниели │(терьеры & овчарки) = Г + Б

спаниели│овчарки = Г + Б + В

спаниели│терьеры│овчарки = А + Б + В + Г

терьеры & овчарки = Б

Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.

Расположим номера запросов в порядке убывания количества страниц: 3 2 1 4

Задача 5

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

Решение

Представим множества классицизм, ампир и классицизм в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А, Б, В, Г).

Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:

барокко│ классицизм │ампир = А + Б + В + Г
барокко │(классицизм & ампир) = Г + Б
классицизм & ампир = Б
барокко│ классицизм = Г + Б + А

Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.

Расположим номера запросов в порядке возрастания количества страниц: 3 2 4 1

Задача 6
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

Решение

Для решения задачи представим запросы в виде кругов Эйлера.

K — канарейки,

Щ – щеглы,

Р – разведение.

Далее будем закрашивать красным цветом сектора согласно запросам, наибольший по величине сектор даст большее количество страниц на запрос.

Самая большая область закрашенных секторов у первого запроса, затем у второго, затем у третьего, а у четвертого запроса самый маленький.

В порядке возрастания по количеству страниц запросы будут представлены в следующем порядке: 4 3 2 1

Обратите внимание что в первом запросе закрашенные сектора кругов Эйлера содержат в себе закрашенные сектора второго запроса, а закрашенные сектора второго запроса содержат закрашенные сектора третьего запроса, закрашенные сектора третьего запроса содержат закрашенный сектор четвертого запроса.

Только при таких условиях мы можем быть уверены, что правильно решили задачу.

Задача 7 (ЕГЭ 2013)

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» – символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Эсминец?
Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов. Ответ: 2200

Решение: Запрос «Фрегат» обозначим символом «Ф», «Эсминец» — символом «Э».

Э=(Ф|Э)-Ф+(Ф&Э)=3400-2100+900=2200.

Источник: http://kanal21.ru/krugi-ejlera-v-logike/