Лекция №1 – Основы работы в математическом пакете Mathcad

Символ присваивания и знак равенства в Mathcad. Математика, информатика.

1. Интерфейс Mathcad

Интерфейс Mathcad по своей структуре аналогичен интерфейсу других Windows – приложений. 

Сразу после запуска система готова к созданию документа с необходимыми вычислениями. Окно содержит строку заголовка с именем системы и текущего документа, строку с пунктами меню, открывающими доступ к подменю с различными командами, рабочую область, строку состояния, всплывающие или контекстные, меню, диалоговые окна (рис. 1). 

%D0%BA%D0%BD2.png

Файлы документов в MathCAD имеют расширение .mcd.

1.1. Панели инструментов

Панели инструментов служат для быстрого выполнения наиболее часто применяемых команд. Имеются следующие панели инструментов:

Стандартная ‑ обеспечивающая быстрое выполнение наиболее важных команд при работе с системой 

%D0%BA%D0%BD1.png

Рис. 2. Панель Стандартная

•      Форматирование – обеспечивающая быстрое форматирование текстовых и формульных блоков в документе;

%D0%BA%D0%BD3.png

Рис. 3. Панель Форматирование

•      Математика – предназначена для вызова на экран еще девяти панелей, с помощью которых происходит вставка математических операций в документы (рис. 4). Для их вызова нужно нажать соответствующую кнопку на панели Математика. Для вызова символа или шаблона выполнения математической операции необходимо щелчком мыши выбрать значок этой операции на панелях Математика. Вставка соответствующего этому значку символа или шаблона выполняется на место курсора в рабочем документе.

В состав панели Математика входят следующие панели:

  •  Калькулятор – вставка шаблонов основных математических операций, цифр, знаков арифметических операций.
  •  График – вставка шаблонов графиков.
  • Вектор и матрица – вставка шаблонов векторов и матриц, а также матричных операций.
  • Вычисления – операторы присвоения значений и вывода результатов расчета.
  • Математический анализ – вставка шаблонов дифференцирования, интегрирования, суммирования.
  • Булева алгебра – вставка логических (булевых) операторов.
  • Греческие символы – вставка греческих символов.
  • Программирование – операторы, необходимые для создания программных модулей.
  • Символьные преобразования – вставка операторов символьных вычислений.

%D0%BA%D0%BD4.png

Рис. 4. Математическая панель

Когда используется символ присваивания и знак равенства в Mathcad?

Чтобы определить значение переменной используется символ присваивания “:=”, который вводится с помощью горячих клавиш SHIFT +[:] или нажатием соответствующей кнопки на панели инструментов “КАЛЬКУЛЯТОР” и “ОЦЕНКА”. Чтобы отобразить значение переменной применяется знак равенства “=”, который задается посредством горячей клавиши [=] или нажатием соответствующей кнопки на панели инструментов “КАЛЬКУЛЯТОР” и “ОЦЕНКА”.

1.1. Булевы функции одного аргумента

Булевых функцийодного аргумента четыре: см. таблицу1, но на практике работают только с одной – с f1, которую называют отрицанием (инверсией). Остальные три функции возвращают либо свой аргумент(функция f2), либо константы 1 (f3) и 0 (f4).

Таблица 1. Булевы функции одногоаргумента

image006.gif

В первой строке графыОбозначение таблицы 1 (и таблицы 2 ниже)показаны операторы Mathcad, которыми булевы функции реализуется. Символ Ø (префиксный оператор отрицания,или инверсии) расположен на панелях, показанных на рис. 1 и 2.

Примечание.

Определениепрефиксный означает, что символоператора расположен до операнда. Всреде Mathcad есть и постфиксныевстроенные операторы – оператор факториала, например, (5!), где символ оператора(!) стоит после операнда (5). У инфиксного оператора два аргумента, аего символ стоит между ними. Есть в среде Mathcadтакже и древовидный оператор – см. рис. 8 и 11ниже.

1.3. Запись команд в рабочем документе системы MathCad

Запись команд в системе MathCAD на языке очень близка к стандартному языку математических расчетов выполняемых на бумаге, что значительно упрощает постановку и решение задач. В результате главные аспекты решения математических задач смещаются с их программирования на алгоритмическое и математическое описание.

MathCAD реализует вычисления в строго определенном порядке, как это делает человек: читая страницу книги, т.е. слева направо и сверху вниз. Правильный порядок выполнения блоков — основа правильного функционирования системы при обработке документа. Например, если в некотором блоке содержатся операции, требующие данных из другого блока, то этот «другой» блок обязательно должен выполняться первым и располагаться перед использующим его блоком. Иначе ошибка. Сигнал ошибки в системе имеет вид всплывающей надписи, заключенной в прямоугольник.

1.4. Используемые типы констант

В системе MathCAD предусмотрены следующие типы данных:

  1. Целые ( 2, –543, +13).

  2. Вещественные (1.876, –375.08).

  3. Комплексные (2.5+3i). Следует иметь в виду, что при записи мнимой единицы следует использовать специальную кнопку панели Calculator.

  4. Строковые. Обычно это комментарий «Вычисление суммы».

  5. Системные. Системная константа – это предварительно определенная переменная, значение которой задается в начале загрузки системы. Примерами таких констант являются числа e или .

Результат арифметического выражения отображается, если после него стоит знак «=» или знак «». В первом случае результат представляется в численном виде, а во втором – в символьном. Например, если записать арифметическое выражение в виде:

123 + 256 = ,

то в результате будем иметь: 123 + 256 = 379.

Пример символьного вычисления:

При выполнении вычислительной системой арифметического выражения используются знаки арифметических операций с приоритетами, принятыми в обычной математике. Для изменения порядка используются круглые скобки. Выражение может содержать также другие операции:

  • извлечения корня;

  • возведения в степень;

  • интегрирования и дифференцирования;

  • знаков факториала и суммирования и т.д.

Часть из этих операций можно «взять» на панели Calculator (Калькулятор). Примером записи выражения может быть:

В качестве операндов выражение может использовать любые константы, в том числе, системные константы и функции.

Если набрать выражение=, то в окне документа будет отображено значение этой константы в виде: =3.141592.

Количество значащих цифр, отображаемых при вычислении, можно регулировать с помощью команды главного меню FormatResult. В этом случае команда предоставит диалоговое окно, как это показано на рис. 5.5, в котором следует переустановить параметры для вывода результата.

Рис. 1.5. Рабочее окно команды главного меню Format (формат Result)

Ниже приведен результат символьного вычисления арифметического выражения:

После знака «» отображен результат символьного вычисления. Для замены результата символьного вычисления численным значением применена команда float, расположенная на панели Symbolic. Эта команда предоставляет шаблон, в котором пользователю предлагается задать количество знаков (цифр) для отображения результата.

2. Работа в математической области

Документ Mathcad состоит из трех видов областей: формульных, текстовых и графических.

Расположение нетекстовыхблоков в документе имеет принципиальное значение. Области просматриваются системой, интерпретируются и исполняются. Просмотр идет слева направо и сверху вниз.

Вычислительный процессор производит расчеты по введенным формулам, с использованием встроенных численных методов. Символьный процессор – производит аналитические вычисления. Математические выражения и текст вводятся с помощью формульного редактора MathCAD; математические расчеты производятся в соответствии с введенными формулами, графики различных типов вставляются непосредственно в документы.

2.1. Курсоры Mathcad

Курсор MathCAD принимает три различные формы:

2.2. Константы и переменные

Константа в системе Mathcad ‑ это величина, значение которой известно до начала вычислений, и оно не меняется в процессе вычислений.

В MathCAD применяются десятичные, восьмеричные и шестнадцатеричные числовые константы. Десятичные константы могут быть целочисленными, вещественными, заданными с фиксированной точкой, и вещественными, заданными в виде мантиссы и порядка.

В MathCAD содержится особый вид констант – размерные. Помимо своего числового значения они характеризуются еще и указанием на то, к какой физической величине они относятся. Для этого указания используется символ умножения. В системе MathCAD заданы следующие основные типы физических величин: время, длина, масса и заряд.

Переменная в системе Mathcad ‑ это величина, которая на разных этапах вычислений может принимать различные значения.

Переменные являются поименованными объектами, которым присвоено некоторое значение, которое может изменяться по ходу выполнения программы. Тип переменной определяется ее значением; переменные могут быть числовыми, строковыми, символьными и т.д. Переменные могут использоваться в математических выражениях, быть аргументами функций или операндом операторов.

Переменные могут быть размерными, т.е. характеризоваться не только своим значением, но и указанием физической величины, значение которой они хранят.

Имена констант, переменных и иных объектов называют идентификаторами.

Идентификаторы MathCAD должны начинаться с буквы и могут содержать следующие символы:

  • латинские буквы любого регистра;
  • арабские цифры от 0 до 9;
  • символ подчеркивания (_),
  • символ процент (%)
  • символ (.);
  • буквы греческого алфавита.

Имена переменных и функций не могут начинаться с цифры, знака подчеркивания, штриха, символа процента, не могут включать в себя пробелы. Символ бесконечности может быть только первым символом в имени.

Mathcad воспринимает прописные и строчные буквы как различные идентификаторы, то же касается букв, изображенных различными шрифтами, – это разные имена. Например: ABC и AbC имена разных переменных.

Mathcad не делает различий между именами переменных и функций. Если вначале определить функцию f(x),а затем – переменную f,окажется невозможно использовать f(x) в расчетах где-либо после определения f .

Некоторые имена уже используются Mathcad для встроенных констант, единиц измерения и функций. Имена можно переопределить, но следует учитывать, что это уничтожит их встроенные значения и этими константами и функциями пользоваться будет нельзя.

2.3. Операторы

Операторы – элементы языка, с помощью которых можно создавать математические выражения. К ним можно отнести символы арифметических и логических операций, знаки вычисления сумм, произведений, производной, интеграла и т.д.

Операторы, обозначающие основные арифметические действия, вводятся с клавиатуры и панели МатематикаðКалькулятор. Вычислительные операторы вставляются в документы при помощи панели инструментов МатематикаðМатематический анализ.

Результатом действия логических или булевых операторов являются только числа 1 (если логическое выражение, записанное с их помощью, истинно) или 0 (если логическое выражение ложно).

Вычислительные операторы сгруппированы на панели Вычисление.

В таблице 1 представлены основные арифметические операции и способы их набора.

Оператор

Клавиша

Назначение оператора

Х:=Y

X:Y

Локальное присваивание X значения Y

X≡Y

Х~Y

Глобальное присваивание X значения Y

Х=

Х=

Вывод значения X

Х+Y

Х+Y

Сложение X с Y

Х-Y

Х-Y

Вычитание из X значения Y

Х·Y

X*Y

Умножение X на Y

%D0%BA%D0%BD8.png

X/Z

Деление X на Z

X÷Y

Ctrl+/

Линейное деление

%D0%BA%D0%BD9.png?time=1552545855255

Ctrl+Shift+ +

Дробь (смешанный номер)

zw

z^w

Возведение z в степень w

%D0%BA%D0%BD10.png

z

Вычисление квадратного корня из z

n!

n!

Вычисление факториала

Bn

В[n

Ввод нижнего индекса n

Аn,m

A[n, m

Ввод двойного нижнего индекса

А<n>

A Ctrl+6 n

Ввод верхнего индекса (для векторов)

1.3. Функции многих аргументов

Булевыхфункций трех аргументов 256, а четырех…Читатель, определи это сам!

ФункцииAndи Or, если их отожествлять сфункциями minи max (см. выше), могут иметьпеременное число аргументов – с четкими (0 или 1) или нечеткими (от 0 до 1)значениями. Этим свойством обладают и некоторые другие булевы функции. Какие?Читатель, определи опять же это сам!

Нарисунках 17 и 18 показано формирование в среде Mathcad нечеткой функции трехаргументов, возвращающей… решение жюри присяжных, которые могут выдавать уже не«черно-белые» ответы (виновен – невиновен), а… «цветные»: виновен на 30%,невиновен на 70% и т.д. В электрическом аналоге машинки для голосования выключатели(0 или 1) заменены на реостаты (от 0 до 1).

Печальное примечание.

Говорят,что в США электрический стул приводят в смертельное действие несколько человек.При этом настоящий рубильник приводится в действие только одним человеком.Остальные участники этой экзекуции включают фальшивые рубильники. И никто незнает, где фальшивый, а где настоящий рубильник. Такая несколько ханжескаяпроцедура дает возможность каждому такому палачу думать, что не он, а кто-тодругой был причиной смерти человека. Если же все настоящие рубильники заменитьна реостаты (см. ниже рис. 17), плавно меняющими напряжение, то смерть можнозаменить на нелетальное наказание: приговоренныйпреступник получит удар током (сильный или слабый), но останется жив.

image046.jpg

Рис. 17. Машина для голосования: параллельное(Or)соединение последовательно (And)соединенных выключателей (реостатов)

image048.jpg

Рис. 18. Функция нечеткогоголосование трех членов жюри

ФункцияVerdict, показаннаяна рис. 18, при двоичных аргументах возвращает двоичный ответ, а привещественных – вещественный, естественно. Показан соответствующий «булев кубик»(оригами) при a= 0.7 – мы видимгибрид конъюнкции с дизъюнкцией: нечеткое (от 0 до 1) мнение одного члена жюри плавнопереводит вердикт из области Or(см. рис. 13) в область And (см. рис. 12).

Заданиедля читателей: создайте функцию, подобную той, какая показана на рис. 18, но недля трех, а для любого числа членов жюри присяжных, выносящих свой вердиктнечетко – вещественным числом от 0 до 1.

Литература:

1. Есипов А.С. Логические основы построенияи работы компьютеров. // Компьютерные инструменты в образовании(http://www.aec.neva.ru:8081/journal). №. 2000

2. Очков В.Ф. Принципнеопределенности программирования. // КомпьютерПресс. 7’1996(http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/IZBYT.htm)

3. Очков В.Ф. Mathcad и нечеткиемножества. // КомпьютерПресс. № 1. 1998(http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/F_sets.htm)

4. Очков В.Ф. Mathcad и нечеткаялогика// КомпьютерПресс. № 8. 1998 (http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/F_log.htm)

1.8. Локальные и глобальные переменные

Как и в других языках программирования в MathCAD различают локальные и глобальные переменные. Присваивание локальным переменным своего значения в системе MathCAD реализуют с помощью знака «:=». Для этого достаточно ввести знак двоеточие. Если ввести «X:5» то на экране появится «X:=5» (т.е. переменной X присваивается значение 5).

Например:

X := 1

sin(X) 0.841

Можно по-другому:

X := 1

Y := sin(X)

Y= 0.841

Глобальная переменная вводится следующим образом: “переменная~выражение”. Вид, который принимает в документе введенное таким образом присваивание: “переменнаявыражение”. Отличие глобальных переменных от локальных переменных в том, что глобальные переменные могут использоваться в любом месте документа (в том числе, слева от их определения и над ним).

Пример введение глобальной переменной.

1.9. Определение и использование пользовательских функций

Важным инструментом в математических вычислениях являются пользовательские функции. Функции особенно целесообразно использовать, когда приходится производить многократные вычисления по одним и тем же формулам, но с разными исходными данными.

Чтобы воспользоваться собственной функцией, нужно:

  1. Описать функцию.

  2. Вызвать описанную функцию для выполнения.

Очевидно, что описание/определение функции должно быть расположено выше, чем ее использование. Для определения функции используются идентификаторы: имя функции и имена формальных параметров функции. Формальный параметр – это идентификатор, конкретное значение которого определяется путем замены его на соответствующее емузначение фактического параметра при обращении к функции. Функции однозначно ставят в соответствие значениям аргументов (формальным параметрам) значения фактических параметров функции.

Формат определения функции:

Имя_функции(список формальных параметров) := выражение

Вызов пользовательской функции производится подобно тому, как и в случае вызова любой стандартной функции.

Можно поместить результат в отдельную переменную:

Имя_переменной_результата:=Имя_функции(список_фактических параметров)

Или напечатать:

Имя_функции(список_фактических параметров)=

Пример 1. Требуется определить функцию Dist, которая будет возвращать расстояние заданной точки от начала координат. Использовать эту функцию для вычисления расстояний от точек А(1.96; –3.8) и В(6; 42.5) до начала координат.

Решение. Из курса линейной алгебры известно, что расстояние от начала координат до некоторой точки A(x, y) определяется по формуле . Здесь (x, y) – координаты заданной точки. Эта формула и будет составлять основу функцию Dist. При описании функции следует предусмотреть два формальных параметра — координаты точки. На место этих параметров должны будут вписаны фактические координаты заданных точек.

В соответствии с формулой определения расстояния от точки на плоскости до начала координат функция Dist может быть записана в виде: . А обращение к функцииDist для вычислений расстояний от заданных точек может быть представлено в виде:

Во втором случае результат помещается во вспомогательную переменную.

Пример 2. Дана функция вида: . Требуется найти ее максимальное и минимальные значения.

Решение. Для решения поставленной задачи целесообразно воспользоваться функцией поиска максимального значенияmaximize(fvar1, var2, …)которая имеется в библиотеке стандартных функций системы MathCAD. Первым параметром у этой функции должно быть имя пользовательской функции, максимальные значения которой требуется найти. Следующие параметры задают имена переменных, в которых будут помещены искомые значения. В нашем случае это будет одна переменная х. Чтобы воспользоваться этой функцией, необходимо поставить перед ней блок решения с ключевым словом Given (Дано). Кроме этого итерационный алгоритм, обеспечивающий решение поставленной перед функцией maximize задачи, требует задания начальных значений искомого аргумента. Установку начальных значений следует произвести до блока решения. Аналогичное описание у функции minimize которая предназначена для поиска минимального значения определенной функции. Фрагмент с решением задачи представлен на рис. 5.7.

Рис. 1.7. Поиск максимального и минимального значений заданной функции

В системе MathCAD предоставлена возможность определения переменных, принимающих значения из заданного промежутка, причем соседние значения удалены на равные расстояния друг от друга. При этом задается только начальное значение, следующее значение (второе значение, неявно задающее шаг изменения значения переменной) и конечное значение.

Строго говоря, переменные, принимающие значения из промежутка, представляют собой векторы с равноудаленными значениями компонент.

В качестве переменных, принимающих значения из промежутка, можно использовать только идентификаторы без индексов.

Формат определения переменной:

Имя_переменной := начальное_значение,начальное_значение + шаг .. конечное_значение

Заметим, что при наборе знак «:=» проявляется после набора «:» , а знак «..» проявляется после набора «;».

Если конечное значение при данном значении шага не достигается точно, последним значением переменной будет наибольшее значение из заданного промежутка, не превышающее конечное значение.

Кроме этого MathCAD предоставляет возможность не задавать следующее значение, если шаг по величине совпадает со значением 1 или –1.

В этом случае формат определения переменной можно представить в виде:

Имя_переменной := начальное_значение .. конечное_значение

Пример 3. Требуется определить переменную р, принимающую значения на интервале [0, 1] с шагом 0,1.

Решение. На рис. 5.8 представлены два фрагмента с решением поставленной задачи. На рис. 5.8, а представлено решение в соответствии с форматом, принятым для определения заданной переменной. А на рис. 5.8, b – такое же определение, но с введением вспомогательных переменных для обозначения и задания границ интервала, и величины шага, необходимых для определения переменной.

a)

b)

Рис. 1.8. Определение переменной, принимающей значения на интервале

Пример 4. Требуется получить таблицу значений функции на интервале [a, b] с шагом h.

Решение. Решение задачи можно свести к выполнению следующих шагов:

  1. Определить функцию .

  2. Задать a, b, h.

  3. Задать переменную (например, t), принимающую значения из промежутка [a, b] с шагом h.

  4. Получить таблицу значений функции для переменной t.

На рис. 5.9 представлен фрагмент документа с решением задачи 4.

Рис. 1.9. Получение таблицы значений функции на заданном интервале с постоянным шагом

1.11. Построение графиков в декартовой системе координат

Все основные типы графиков и инструменты работы с ними расположены на рабочей панели Graph (График) семействаMath (Математические). На этой панели вы можете найти ссылки на семь типов графиков. В данном разделе остановимся на декартовой системе координат.

В MathCAD существует несколько способов построения графиков, однако, первый шаг для всех способов будет один и тот же. Этим первым шагом является введение специальной заготовки для будущего графика – так называемой графической области. Ввести графическую область, как для декартового, так и для любого другого графика можно либо с панели Graph (Графические), либо командой одноименного подменю меню Insert (Вставка).

Графическая область представляет собой две вложенные рамки, как это показано на рис. 5.10, а. Во внутренней области отображаются непосредственно кривые зависимостей. Пространство между рамками служит для визуализации разного рода служебной информации. Графическую область можно увеличивать и уменьшать с помощью специальных маркеров, расположенных на ее внешней рамке. Перемещать по документу и удалять графические области можно точно так же, как простые формулы.

а)

b)

Рис. 1.10. Графическая область в декартовой системе координат

После того как графическая область будет введена, в общем случае требуется задать два соразмерных вектора, определяющих значения координат точек. Сделать это можно различными способами. Наиболее простым и часто используемым методом задания координатной сетки является так называемый быстрый метод. При его применении пользователь задает только имя переменной и вид функции, а шкалы осей и величину шага между узловыми точками автоматически определяет система.

Для построения графика функции по быстрому методу, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

  1. Введите графическую область.

  2. В специальном маркере, расположенном в центре под внутренней рамкой графической области, задайте имя независимой переменной.

  3. В центральный маркер, расположенный слева от внутренней рамки, введите функцию или имя функции (если функцию определить раньше переменной, то работа даже упрощается, так как независимая переменная будет задана автоматически).

На рис. 1.10, b показан график функции y=sin(t), построенный по быстрому методу.

К недостаткам рассматриваемого метода относится, прежде всего, то, что область изменения переменной для всех функций определяется одна и та же: от –10 до +10. В большинстве же случаев такие пределы будут неприемлемы по целому ряду причин. Например, если амплитуда экстремумов мала по сравнению с изменением величины функции на промежутке, что они становятся просто незаметными.

Чтобы справиться с возникшими трудностями, нужно просто уменьшить интервал изменения либо переменной, либо функции. Для этого выделите графическую область щелчком левой кнопкой мыши. При этом визуализируются все элементы, которые до этого были скрыты (рис. 1.11, а).

a)

b)

Рис. 1.11. Графическая область в декартовой системе координат

Непосредственно под крайними значениями (для оси X) или слева от них (для оси Y) появятся цифры, отражающие максимальные и минимальные величины координат узловых точек графика. Чтобы изменить их значения, просто удалите (точно так же, как при редактировании формул) старые величины и введите новые. Изменения пределов по осиX вызывает автоматический пересчет крайних значений по Y. Однако если вы переопределите область по оси Y, то область изменения переменной останется старой.

Графическую область можно отформатировать – изменить внешний вид и цветовую гамму. Для этого можно воспользоваться командой Properties (Свойства) из контекстного меню графика (вызывается щелчком правой кнопкой мыши на графической области), как это показано на рис. 1.11, b.

В окне Properties (Свойства) для подавляющего большинства пользователей объективно могут быть полезны два параметра, расположенных на вкладке Display (см. рис. 1.11, b):

  • Highlight Region (Цветная область). Установив этот флажок, вы сможете на палитре Choose Color (Выбор цвета) определить наиболее подходящий цвет заливки для вашей графической области.

  • Show Border (Показать границу). Параметр отвечает за отображение внешней границы графической области. По умолчанию она не визуализируется.

При исследовании функции большое применение находит команда Trace (След) из контекстного меню графика. Эта команда позволяет считать с графика текущее значение аргумента и соответствующего ему значение функции. В результате выполнения этой команды открывается окно «XY Trace», как это показано на рис. 1.12. Чтобы активизировать трассировку, нужно мышью щелкнуть по графику. В результате на графике появляются две линии – вертикальная и горизонтальная, которые легко с помощью мыши перемещаются по графической области, а координаты точки пересечения линий отражается в окне трассировки.

Рис. 1.12. Считывание координат точки на графике

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...