Площадь прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника, Площадь произвольного треугольника, Площадь параллелограмма

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Доказательство

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a$ и $BC=b$.

Докажем, что его площадь $S=ab$.

Достроим прямоугольник $ABCD$ до квадрата $AEGK$, продлив прямую $AD$ заточку $D$ на отрезок $DE=a$, и прямую $AB$ за точку $B$ на отрезок$BK=b$.

Тогда $BCHK$ и $CFED$ – это квадраты, и их площади равнысоответственно $b^2$ и $a^2$.

Кроме того, $CFGH$ – это прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, следовательно, его площадьравна площади $ABCD$.

Обозначим площадь $ABCD$ за $S$.

Тогда$S_{AEGK}=S_{BCHK}+S_{CFED}+2S=a^2+b^2+2S$.

С другой стороны$S_{AEGK}=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$.

Откуда получаем, что $2ab=2S$, тоесть $S=ab$.

Источник: http://wiki.sch239.net/math-public/ploshchadi_razlichnyh_mnogougolnikov

Формулы для площади треугольника

Формулы, позволяющие находить площадь треугольника, удобно представить в виде следующей таблицы.

Фигура	Рисунок	Формула площади	Обозначения
Произвольный треугольник		Посмотреть вывод формулы	a – любая сторона, ha – высота, опущенная на эту сторону
	Посмотреть вывод формулы	a и b – две любые стороны, С – угол между ними
	. Посмотреть вывод формулы Герона	a, b, c – стороны, p – полупериметр Формулу называют «Формула Герона»
	Посмотреть вывод формулы	a – любая сторона, B, С – прилежащие к ней углы
	Посмотреть вывод формулы	a, b, c – стороны, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр
	Посмотреть вывод формулы	a, b, c – стороны, R – радиус описанной окружности
	S = 2R2 sin A sin B sin C Посмотреть вывод формулы	A, B, С – углы, R – радиус описанной окружности
Равносторонний (правильный) треугольник		Посмотреть вывод формулы	a – сторона
	Посмотреть вывод формулы	h – высота
	Посмотреть вывод формулы	r – радиус вписанной окружности
	Посмотреть вывод формулы	R – радиус описанной окружности
Прямоугольный треугольник		Посмотреть вывод формулы	a и b – катеты
	Посмотреть вывод формулы	a – катет, φ – прилежащий острый угол
	Посмотреть вывод формулы	a – катет, φ – противолежащий острый угол
	Посмотреть вывод формулы	c – гипотенуза, φ – любой из острых углов

Произвольный треугольник
	где a – любая сторона, ha – высота, опущенная на эту сторону Посмотреть вывод формулы
	где a и b – две любые стороны, С – угол между ними Посмотреть вывод формулы
	. где a, b, c – стороны, p – полупериметр Формулу называют «Формула Герона» Посмотреть вывод формулы Герона
	где a – любая сторона, B, С – прилежащие к ней углы Посмотреть вывод формулы
	где a, b, c – стороны, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр Посмотреть вывод формулы
	где a, b, c – стороны, R – радиус описанной окружности Посмотреть вывод формулы
	S = 2R2 sin A sin B sin C где A, B, С – углы, R – радиус описанной окружности Посмотреть вывод формулы
Равносторонний (правильный) треугольник
	где a – сторона Посмотреть вывод формулы
	где h – высота Посмотреть вывод формулы
	где r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы
	где R – радиус описанной окружности Посмотреть вывод формулы
Прямоугольный треугольник
	где a и b – катеты Посмотреть вывод формулы
	где a – катет, φ – прилежащий острый угол Посмотреть вывод формулы
	где a – катет, φ – противолежащий острый угол Посмотреть вывод формулы
	где c – гипотенуза, φ – любой из острых углов Посмотреть вывод формулы

Произвольный треугольник

Площадь треугольника вывод формул

где
a – любая сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

Площадь треугольника вывод формул

где
a и b – две любые стороны,
С – угол между ними

Посмотреть вывод формулы

Вывод формулы Герона
Площадь треугольника формула Герона .

где
a, b, c – стороны,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Герона»

Посмотреть вывод формулы Герона

Площадь треугольника вывод формул

где
a – любая сторона,
B, С – прилежащие к ней углы

Посмотреть вывод формулы

Площадь треугольника вывод формул

где
a, b, c – стороны,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Посмотреть вывод формулы

Площадь треугольника вывод формул

где
a, b, c – стороны,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

S = 2R2 sin A sin B sin C

где
A, B, С – углы,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Равносторонний (правильный) треугольник

Площадь равностороннего правильного треугольника

Формула площади равностороннего правильного треугольника

где
a – сторона

Посмотреть вывод формулы

Формула площади равностороннего правильного треугольника

где
h – высота

Посмотреть вывод формулы

Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус вписанной окружности

где
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Формула площади равностороннего правильного треугольника через радиус описанной окружности

где
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Прямоугольный треугольник

Формула площади прямоугольного треугольника

где
a и b – катеты

Посмотреть вывод формулы

Формула площади прямоугольного треугольника

где
a – катет,
φ – прилежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

Формула площади прямоугольного треугольника

где
a – катет,
φ – противолежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

Формула площади прямоугольного треугольника

где
c – гипотенуза,
φ – любой из острых углов

Посмотреть вывод формулы

Источник: http://resolventa.ru/spr/planimetry/sqt.htm

Советуем посмотреть:

Понятие площади многоугольника

Площадь квадрата

Площадь прямоугольника

Площадь параллелограмма

Площадь трапеции

Теорема Пифагора

Теорема, обратная теореме Пифагора

Формула Герона

Площадь

Источник: http://budu5.com/manual/chapter/3480

Формула для площади треугольника и следствия из неё

На данном уроке мы докажем формулу для площади треугольника и решим несколько задач на её применение.

Будем называть сторону – основанием, тогда – высота, опущенная к этой стороне (см. Рис. 1).

Рис. 1. Высота и основание

Источник: http://kursoteka.ru/course/2604/lesson/8523/unit/21858

Расчет площади равностороннего треугольника, зная сторону

Если вам дана только высота треугольника, то S равностороннего треугольника следует рассчитать по формуле:

где S — площадь треугольника; h — его высота.

Источник: http://exceltut.ru/kak-najti-ploshhad-pryamougolnogo-treugolnika/

Теорема о свойстве медианы треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

В формульном виде: .

Доказательство:

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

Достроим треугольник до параллелограмма – см. Рис. 2.

(по трём сторонам: – общая, , – как противоположные стороны параллелограмма).

Из равенства треугольников следует равенство их площадей: . Получаем: . Воспользовавшись формулой для площади параллелограмма: .

Доказано.

Сформулируем несколько следствий из данной теоремы.

Следствие 1

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов (см. Рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к следствию 1

Следствие 2

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания (см. Рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к следствию 2

Теорема 2

Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника (см. Рис. 5).

Доказательство:

Рис. 5. Иллюстрация к теореме

Пусть – треугольник, – медиана, – высота. Для треугольников – также является высотой. Запишем формулу для площади каждого из этих треугольников: , . Так как ( – медиана), то: . Значит, эти треугольники являются равновеликими.

Доказано.

Источник: http://kursoteka.ru/course/2604/lesson/8523/unit/21858

Формула площади равнобедренного треугольника через стороны

Зная стороны равнобедренного треугольника, найти площадь можно по формуле:

b — основание треугольника.
a — равные стороны.

Источник: http://exceltut.ru/kak-najti-ploshhad-pryamougolnogo-treugolnika/

Зная три стороны и радиус описанной окружности

Найдите произведение всех сторон треугольника.
Поделите результат на четыре радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.

S — искомая площадь треугольника.
R — радиус описанной окружности.
a, b, c — стороны треугольника.

Источник: http://exceltut.ru/kak-najti-ploshhad-pryamougolnogo-treugolnika/

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 479, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 491, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 505, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 517, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 529, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 619, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 846, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1077, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1243, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1285, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Источник: http://budu5.com/manual/chapter/3480

Площадь прямоугольного треугольника

Можно найти зная два катета.
Через гипотенузу и высоту проведенную к гипотенузе.

Понравилась статья? Если да, то подписывайся на мой канал. Если нет, то напиши почему, мне важно твое мнение!

Источник: http://zen.yandex.ru/media/id/5c2e1795753ad200a98c0ae0/svoistva-priamougolnogo-treugolnika-teorema-pifagora-ploscad-priamougolnogo-treugolnika-5fa0d79801bdcc4833f3ac56