Решение уравнений с модулем

Ищете информацию об уравнениях и неравенствах с модулем? ЕГЭ-Студия поможет вам разобраться в сложных вопросах Математики и сдать ЕГЭ на отлично!

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение $|x^2 - 5x + 4| = 4.$

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

$x^2 - 5x + 4 = 4$ или $x^2 - 5x + 4 = -4.$

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Ответ: 0; 5.

Источник: http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/uravneniya-i-neravenstva-s-modulem/

Внешний вид уравнений

Уравнения с модулем могут выглядеть примерно следующим образом:

|x| = 6
(модуль икс равняется 6)
|x – 11| = 3
(модуль икс минус 11 равно 3)
|x + 4| = 9
(модуль икс плюс 4 равняется 9)

Т.е. в модуле указана неизвестная переменная (просто x или выражение, включающее x).

Источник: http://microexcel.ru/uravnenie-s-modulem/

Определение модуля числа

Алгебра дает четкое определения модуля числа. Модуль в математике — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.

Если мы возьмем некоторое число «a» и изобразим его на координатной прямой точкой «A» — расстояние от точки «A» до начала отсчёта (то есть до нуля, длина отрезка «OA») будет называться модулем числа «a».

Знак модуля: |a| = OA

Разберем на примере:
пример определения модуля числа

Точка «В», которая соответствует числу «−3», находится на расстоянии 3 единичных отрезков от точки 0 (то есть от начала отсчёта). То есть длина отрезка «OB» равна 3 единицам.

Число 3 (длина отрезка «OB») называют модулем числа «−3».

Обозначение модуля: |−3| = 3

Читают символы выше следующим образом: «модуль числа минус три равен трем».

Точка «С», которая соответствует числу «+4», находится на расстоянии четырех единичных отрезков от начала отсчёта, то есть длина отрезка «OС» равна четырем единицам.

Число 4 называют модулем числа «+4» и обозначают так: |+4| = 4.

Также можно опустить плюс и записать значение, как |4| = 4.

Источник: http://skysmart.ru/articles/mathematic/modul-chisla

Свойства модуля числа

Давайте рассмотрим семь основных свойств модуля. Независимо от того, в какой класс перешел ребенок — эти правила пригодятся всегда.

1. Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Поэтому и модуль числа не бывает отрицательным:

|a|0

2. Модуль положительного числа равен самому числу.

|a| = a, если a > 0

3. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.

|−a| = a, если a < 0

4. Модуль нуля равен нулю.

|0| = 0, если a = 0

5. Противоположные числа имеют равные модули.

|−a| = |a| = a

6. Модуль произведения равен произведению модулей этих чисел.

|a b| = |a| |b|, когда

a·b 0

или

−(a·b), когда a·b<0

7. Модуль частного равен частному от деления модуля числа числителя на модуль числа знаменателя:

Источник: http://skysmart.ru/articles/mathematic/modul-chisla

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

$|2 - x| = 5 - 4x$

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

$gif.latex?%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D&space;2-x<&space;0,%5C%5C&space;x-2=5-4x.&space;%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5C%5C$

Решение первой системы: $x = 1$ . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

2. $x^2 + 4|x - 3| - 7x + 11 = 0.$

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

$png.latex?x%5E%7B2%7D+4(x-3)-7x+11=0,$

$png.latex?x%5E%7B2%7D-3x-1=0,%5C%5C&space;x_%7B1%7D=%5Cfrac%7B3+%5Csqrt%7B13%7D%7D%7B2%7D,&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;x_%7B2%7D=%5Cfrac%7B3-%5Csqrt%7B13%7D%7D%7B2%7D.$

Число $x_2$ , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число $x_1$ . Для этого составим разность и определим её знак:

$png.latex?x_%7B1%7D-3=%5Cfrac%7B3+%5Csqrt%7B13%7D%7D%7B2%7D-3=%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B13%7D-3%7D%7B2%7D=%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B13%7D-%5Csqrt%7B9%7D%7D%7B2%7D>0.$

Значит, $x_1$ больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Второй случай: x < 3. Снимаем модуль:

$png.latex?x%5E%7B2%7D+4(3-x)-7x+11=0,$

$png.latex?x%5E%7B2%7D-11x+23=0,%5C%5C&space;x_%7B3%7D=%5Cfrac%7B11+%5Csqrt%7B29%7D%7D%7B2%7D,&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;x_%7B4%7D=%5Cfrac%7B11-%5Csqrt%7B29%7D%7D%7B2%7D.$

Число $x_3$ . больше, чем $png.latex?%5Cfrac%7B11%7D%7B2%7D$ , и потому не удовлетворяет условию x < 3. Проверим $x_4$ :

$png.latex?x_%7B4%7D-3=%5Cfrac%7B11-%5Csqrt%7B29%7D%7D%7B2%7D-3=%5Cfrac%7B5-%5Csqrt%7B29%7D%7D%7B2%7D=%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B25%7D-%5Csqrt%7B29%7D%7D%7B2%7D<0.$

Значит, $x_4$ . является корнем исходного уравнения.

Ответ: $png.latex?%5Cfrac%7B3+%5Csqrt%7B13%7D%7D%7B2%7D,%5C:&space;%5C:&space;%5Cfrac%7B11-%5Csqrt%7B29%7D%7D%7B2%7D$

3. $|2x^2 - 3x - 4| = 6x - 1.$

Снимать модуль по определению? Страшно даже подумать об этом, ведь дискриминант — не полный квадрат. Давайте лучше воспользуемся следующим соображением: уравнение вида |A| = B равносильно совокупности двух систем:

$png.latex?%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D&space;A=-B,%5C%5C&space;B%5Cgeq&space;0.&space;%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$

То же самое, но немного по-другому:

$|A|=BLeftrightarrow left [ begin{matrix} A=B,\ A=-B, end{matrix}right. Bgeq 0.$

Иными словами, мы решаем два уравнения, A = B и A = −B, а потом отбираем корни, удовлетворяющие условию B ≥ 0.

Приступаем. Сначала решаем первое уравнение:

$png.latex?2x%5E%7B2%7D-3x-4=6x-1,$
$png.latex?2x%5E%7B2%7D-9x-3=0,$
$png.latex?x_%7B1%7D=%5Cfrac%7B9+%5Csqrt%7B105%7D%7D%7B4%7D,%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;x_%7B2%7D=%5Cfrac%7B9-%5Csqrt%7B105%7D%7D%7B4%7D.$

Затем решаем второе уравнение:

$png.latex?%5C:&space;%5C%5C&space;2x%5E%7B2%7D-3x-4=1-6x,%5C%5C&space;2x%5E%7B2%7D+3x-5=0,%5C%5C&space;%5C,&space;%5C%5C&space;x_%7B3%7D=1,%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;%5C:&space;x_%7B4%7D=-%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D.$

Теперь в каждом случае проверяем знак правой части:

$png.latex?%5C,&space;%5C%5C&space;6x_%7B1%7D-1=6%5Ccdot&space;%5Cfrac%7B9+%5Csqrt%7B105%7D%7D%7B4%7D-1=%5Cfrac%7B50+6%5Csqrt%7B105%7D%7D%7B4%7D>0;%5C%5C&space;%5C,&space;%5C%5C&space;6x_%7B2%7D-1=6%5Ccdot&space;%5Cfrac%7B9-%5Csqrt%7B105%7D%7D%7B4%7D-1=%5Cfrac%7B50-6%5Csqrt%7B105%7D%7D%7B4%7D=%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2500%7D-%5Csqrt%7B3780%7D%7D%7B4%7D<0;%5C%5C&space;%5C,&space;%5C%5C&space;6x_%7B3%7D-1=6-1>0;%5C%5C&space;6x_%7B4%7D-1=-15-1<0.$