Дифференцирование и интегрирование степенной функции, экспоненты и логарифма – формулы. Выражение интегралов через гипергеометрические функции. Значения некоторых определенных интегралов.
Формула
$$int x^{n} d x=frac{x^{n+1}}{n+1}+C, n neq-1$$
Интеграл от степенной функции равен этой же функции в степени на единицу больше, деленной на эту же степень, плюс постоянная интегрирования.
Заметим, что если $x$ в некоторой степени находится в знаменателе, то применяют свойство $frac{1}{x^{n}}=x^{-n}$ и далее интегрируют по указанной формуле.
Источник: http://webmath.ru/poleznoe/formules_11_2.php
Примеры решения задач
Задание | Найти неопределенный интеграл
|
Решение | Запишем подынтегральную функцию в виде степенной функции по формулам:
и
Будем иметь:
|
Ответ |
Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |
Источник: http://ru.solverbook.com/spravochnik/integraly/integral-stepennoj-funkcii/
Главные интегралы, которые должен знать каждый студент
Перечисленные интегралы — это базис, основа основ. Данные формулы, безусловно, следует запомнить. При вычислении более сложных интегралов вам придется постоянно ими пользоваться.
Обратите особое внимание на формулы (5), (7), (9), (12), (13), (17) и (19). Не забывайте при интегрировании добавлять к ответу произвольную постоянную С!
Интеграл от константы
∫ Adx=Ax+C
(1)
Интегрирование степенной функции
В действительности, можно было ограничиться только формулами (5) и (7), но остальные интегралы из этой группы встречаются настолько часто, что стоит уделить им немного внимания.
∫ xdx= x 2 2 +C
(2)
∫ x 2 dx= x 3 3 +C
(3)
∫ 1 x dx=2 x +C
(4)
∫ 1 x dx=ln| x |+C
(5)
∫ 1 x 2 dx=− 1 x +C
(6)
∫ x n dx= x n+1 n+1 +C(n≠−1)
(7)
Интегралы от показательной функции и от гиперболических функций
Разумеется, формулу (8) (пожалуй, самую удобную для запоминания) можно рассматривать как частный случай формулы (9). Формулы (10) и (11) для интегралов от гиперболического синуса и гиперболического косинуса легко выводятся из формулы (8), но лучше просто запомнить эти соотношения.
∫ e x dx= e x +C
(8)
∫ a x dx= a x lna +C(a>0,a≠1)
(9)
∫ shx dx=chx+C
(10)
∫ chx dx=shx+C
(11)
Базовые интегралы от тригонометрических функций
Ошибка, которую часто делают студенты: путают знаки в формулах (12) и (13). Запомнив, что производная синуса равна косинусу, многие почему-то считают, что интеграл от функции sinx равен сosx. Это неверно! Интеграл от синуса равен «минус косинусу», а вот интеграл от cosx равен «просто синусу»:
∫ sinxdx=−cosx+C
(12)
∫ cosxdx=sinx+C
(13)
∫ 1 cos 2 x dx=tgx+C
(14)
∫ 1 sin 2 x dx=−ctgx+C
(15)
Интегралы, сводящиеся к обратным тригонометрическим функциям
Формула (16), приводящая к арктангенсу, естественно, является частным случаем формулы (17) при a=1. Аналогично, (18) — частный случай (19).
∫ 1 1+ x 2 dx=arctgx+C=−arcctgx+C
(16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a arctg x a +C(a≠0)
(17)
∫ 1 1− x 2 dx=arcsinx+C=−arccosx+C
(18)
∫ 1 a 2 − x 2 dx=arcsin x a +C=−arccos x a +C(a>0)
(19)
Источник: http://repetitor2000.ru/integrals.html
ВВЕДЕНИЕ
Методические указания по выполнению контрольныхработ составлены для студентов всех специальностей Института интегрированных формобучения (ИИФО), занимающихся по ускоренной программе (на базе техникума).
Задания контрольных работ № 3–4 включаютосновные разделы курса «Высшей математики»: неопределенный и определенный интегралы,вычисление площади плоской фигуры, однородные и неоднородные дифференциальные уравнениявторого порядка с постоянными коэффициентами, числовые и степенные ряды, приложениястепенных рядов. Студенту предлагается выполнить 12 заданий (8 – в контрольной работе№ 3; 4 – в контрольной работе № 4) и ответить на теоретические вопросы.
Каждое задание сопровождается решением подобногопримера, что позволит студенту самостоятельно выполнить индивидуальное задание.
Источник: http://vunivere.ru/work78226
Формула интеграла от многочлена
Представим, для справок, формулу интеграла от многочлена в общем виде. Пусть задан многочлен от переменной x степени n
,
где a0, a1, a2, … , an – постоянные, не зависящие от x коэффициенты.
Неопределенный интеграл от многочлена определяется по формуле
,
где C – постоянная интегрирования.
Источник: http://1cov-edu.ru/mat_analiz/integrali/neopredelennie/osnovnye_formuly_integrirovaniya/mnogochleny/
РАЗДЕЛ 1. Неопределенный интеграл
Рассмотрим правила интегрирования неопределенныхпростейших интегралов. Кратко смысл задания сводится к следующему.
При помощи преобразований привести интегралк табличному, затем, используя таблицу интегралов, найти первообразную:
∫f( x )dx = F( x )+C, где f ( x ) – подынтегральнаяфункция; F(x ) – первообразная; C – произвольная постоянная.
Таблица основных интегралов дана ниже, где«a» и «b» – постоянные коэффициенты, причем a ≠ 0, а «b» – любое.
Источник: http://vunivere.ru/work78226
Примеры решений сложных интегралов
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Найдём dx:
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
Перейдём к переменной , для этого из подстановки выразим через :
В итоге получим:
Преобразуем полученный результат с учётом, что
Считая, что , получим
Индекс можно обозначить через
Окончательно, получим:
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Найдём dx:
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
Перейдём к переменной , для этого из подстановки выразим через :
В итоге получим:
Ответ
Задача
Вычислить интеграл от дроби:
Решение
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи тригонометрической подстановки
Решение
Найдём dx:
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
Интеграл вида относится к табличным и равен:
Поэтому:
Перейдём к переменной , для этого из подстановки выразим через :
В итоге получим:
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи тригонометрической подстановки
Решение
Найдём dx:
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
Интеграл вида относится к табличным и равен:
Поэтому:
Перейдём к переменной , для этого из подстановки выразим через :
В итоге получим:
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Найдём dx:
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
Перейдём к переменной , для этого из подстановки выразим через :
В итоге получим:
Т.к. , то
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Найдём dx:
Преобразуем подынтегральную функцию c учётом подстановки :
=
Искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
=
Перейдём к от к переменной :
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Выразим подынтегральную функцию через переменную :
Разделим обе части равенства на :
В правой части равенства заменим на :
Переходя к переменной , получаем:
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Выразим подынтегральную функцию через переменную :
Переходя к переменной , и учитывая, что получаем:
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
при помощи подстановки
Решение
Выразим подынтегральную функцию через переменную :
Переходя к переменной , и учитывая, что получаем:
Ответ
Примеры решения сложных интегралов с ответами обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру
Источник: http://nauchniestati.ru/spravka/primery-resheniya-slozhnyh-integralov-s-otvetami/