Момент инерции кольца, теория и примеры

Определение момента инерции тела. Что такое момент инерции в физике. Формулы, законы и объяснение расчета для чайников. – Zaochnik

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

J_{xy}=intlimits_{(m)} xydm=intlimits_{(V)} xyrho dV,!

J_{xz}=intlimits_{(m)} xzdm=intlimits_{(V)} xzrho dV,!

J_{yz}=intlimits_{(m)} yzdm=intlimits_{(V)} yzrho dV,!

где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.

Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции Jxy и Jxz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела.

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

Масса - мера инертности тела 

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

физика инерция формулы

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

определение момента инерции

Геометрический момент инерции

Геометрический момент инерции — геометрическая характеристика сечения вида

J_y = int_{F}^{} z^2dFJ_z = int_{F}^{} y^2dF

где z — расстояние от центральной оси y(z) до любой элементарной площадки dF относительно нейтральной оси.

Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости сечения. Используется для вычисления радиуса инерции, прогиба балки, подбора сечения балок, колонн и др.

Единица измерения СИ — м4. В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката в частности указывается в см4.

Из него выражается момент сопротивления сечения:

W=frac{J}{r_{max}}.

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

момент инерции для чайников

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Формулы для момента инерции 

Тензор инерции и эллипсоид инерции

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором ~vec s =  left Vert s_x ,  s_y , s_z right Vert^T  ,left vert vec s right vert=1, можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы:

~ I_s= vec s^T cdot hat J cdot vec s qquad (1),

где ~ hat J — тензор инерции. Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры ~ 3 times 3 и состоит из компонент центробежных моментов:

~  hat J = left Vert  begin{array}{ccc} J_{xx} & -J_{xy} & -J_{xz} \ -J_{yx} & J_{yy} & -J_{yz} \-J_{zx} & -J_{zy} & J_{zz} end{array} right Vert , ~ J_{xy}= J_{yx}, J_{xz}= J_{zx},  J_{zy}= J_{yz},
~J_{xx}=intlimits_{(m)} (y^2+z^2)dm , J_{yy}=intlimits_{(m)} (x^2+z^2)dm,  J_{zz}=intlimits_{(m)} (x^2+y^2)dm.

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора ~  hat J:
~ hat J_d = hat Q^T cdot hat J cdot hat Q ; ~  hat J_d = left Vert  begin{array}{ccc} J_{X} & 0 & 0 \ 0 & J_{Y} & 0 \0 & 0 & J_{Z} end{array} right Vert,
где ~ hat Q — ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины ~ J_{X},J_{Y},J_{Z} — главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:

~ I_s= J_{X} cdot s_x^2 +J_{Y} cdot s_y^2 + J_{Z} cdot s_z^2,

откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на ~ I_s

~ left ( {s_x over sqrt {I_s}}right )^2 cdot J_{X}  + left ( {s_y over sqrt {I_s}}right )^2 cdot J_{Y} + left ( {s_z over sqrt {I_s}}right )^2 cdot J_{Z}  =1

и произведя замены:

~ xi=  {s_x over sqrt {I_s}}, eta=  {s_y over sqrt {I_s}}, zeta=  {s_z over sqrt {I_s}},

получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах ~ xi eta zeta:

~ xi^2 cdot J_{X}  + eta^2 cdot J_{Y} + zeta^2 cdot J_{Z}  =1

Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:

~ r^2 = xi^2 + eta^2 + zeta^2 = left ( {s_x over sqrt {I_s}}right )^2  + left ( {s_y over sqrt {I_s}}right )^2  + left ( {s_z over sqrt {I_s}}right )^2 = {1 over I_s}

См. также

  • Движение твёрдого тела
  • Метод главных компонент
  • Сопротивление материалов
  • Теорема Штейнера
  • Механические приложения тройного интеграла
  • Механические приложения двойного интеграла
  • Полярный момент инерции
  • Список моментов инерции

Литература

  • Матвеев. А. Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432с.) http://www.alleng.ru/d/phys/phys108.htm
  • Трофимова Т. И. Курс физики. — 7-е изд. — М.: Высшая школа, 2001. — 542 с.
  • Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А. Механика твердого тела. Лекции. Издательство Физического факультета МГУ, 1997. http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1186208&s=120000000
  • Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с. http://www.alleng.ru/d/phys/phys99.htm
  • Яворский Б. М., Детлаф А. А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие — М.: Дрофа, 2002, 800с. ISBN 5-7107-5956-3
  • Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Том I. Механика. 4-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. — 560 с. http://www.alleng.ru/d/phys/phys103.htm
  • Беляев Н. М., Сопротивление материалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976. — 608 с.

Момент инерции, видео

И в завершение образовательное видео по теме нашей статьи.

Эта статья доступна на английском языке – Moment of Inertia.

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...