Определение момента инерции тела. Что такое момент инерции в физике. Формулы, законы и объяснение расчета для чайников. — Zaochnik
Что такое инерция
Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.
Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».
Источник: http://zaochnik.ru/blog/moment-inercii-dlya-chajnikov-opredelenie-formuly-primery-resheniya-zadach/
Центробежный момент инерции
Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:
где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.
Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции Jxy и Jxz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела.
Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.
Источник: http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/71707
Определение момента инерции
Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.
По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.
Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.
Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.
![физика инерция формулы](https://zaochnik.ru/blog/2017/10/Screenshot_1-1.jpg)
Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:
Источник: http://zaochnik.ru/blog/moment-inercii-dlya-chajnikov-opredelenie-formuly-primery-resheniya-zadach/
Геометрический момент инерции
Геометрический момент инерции — геометрическая характеристика сечения вида
где — расстояние от центральной оси
до любой элементарной площадки
относительно нейтральной оси.
Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости сечения. Используется для вычисления радиуса инерции, прогиба балки, подбора сечения балок, колонн и др.
Единица измерения СИ — м4. В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката в частности указывается в см4.
Из него выражается момент сопротивления сечения:
.
Источник: http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/71707
Теорема Штейнера
От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.
Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:
Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:
Источник: http://zaochnik.ru/blog/moment-inercii-dlya-chajnikov-opredelenie-formuly-primery-resheniya-zadach/
Тензор инерции и эллипсоид инерции
Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы:
(1),
где — тензор инерции. Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры
и состоит из компонент центробежных моментов:
,
.
Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора :
,
где — ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины
— главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:
,
откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на
и произведя замены:
,
получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах :
Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:
Источник: http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/71707
См. также
- Движение твёрдого тела
- Метод главных компонент
- Сопротивление материалов
- Теорема Штейнера
- Механические приложения тройного интеграла
- Механические приложения двойного интеграла
- Полярный момент инерции
- Список моментов инерции
Источник: http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/71707
Литература
- Матвеев. А. Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432с.) http://www.alleng.ru/d/phys/phys108.htm
- Трофимова Т. И. Курс физики. — 7-е изд. — М.: Высшая школа, 2001. — 542 с.
- Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А. Механика твердого тела. Лекции. Издательство Физического факультета МГУ, 1997. http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1186208&s=120000000
- Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с. http://www.alleng.ru/d/phys/phys99.htm
- Яворский Б. М., Детлаф А. А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие — М.: Дрофа, 2002, 800с. ISBN 5-7107-5956-3
- Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Том I. Механика. 4-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. — 560 с. http://www.alleng.ru/d/phys/phys103.htm
- Беляев Н. М., Сопротивление материалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976. — 608 с.
Источник: http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/71707
Момент инерции, видео
И в завершение образовательное видео по теме нашей статьи.
Эта статья доступна на английском языке – Moment of Inertia.
Источник: http://poznavayka.org/fizika/moment-inertsii/