Как освободиться от иррациональности в знаменателе: способы, примеры, решения

Сопряженное число : Если комплексное число , то число является сопряженным (либо комплексно сопряженным ) к (часто обозначается как ).

Что значит освободиться от иррациональности в знаменателе дроби?

Сначала нужно разобраться, что такое иррациональность в знаменателе и что значит освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. В этом нам поможет информация из школьных учебников [1, с. 96; 2, с. 74-75]. Заслуживают внимания следующие моменты.

Когда запись дроби содержит в знаменателе знак корня (радикал), то говорят, что в знаменателе присутствует иррациональность. Вероятно, это связано с тем, что записанные при помощи знаков корней числа часто являются иррациональными числами. В качестве примера приведем дроби , , , , очевидно, знаменатели каждой из них содержат знак корня, а значит и иррациональность. В старших классах неизбежна встреча с дробями, иррациональность в знаменатели которых вносят не только знаки квадратных корней, но и знаки кубических корней, корней четвертой степени и т.д. Вот примеры таких дробей:

Учитывая приведенную информацию и смысл слова «освободиться», очень естественно воспринимается следующее определение:

Часто можно слышать, что говорят не освободиться, а избавиться от иррациональности в знаменателе дроби. Смысл при этом не меняется.

Например, если от дроби перейти к дроби , значение которой равно значению исходной дроби и знаменатель которой не содержит знака корня, то можно констатировать, что мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби. Еще пример: замена дроби тождественно равной ей дробью есть освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.

Итак, начальная информация получена. Остается узнать, что нужно делать, чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.

Источник: http://cleverstudents.ru/expressions/denominator_rationalisation.html

Раскрытие неопределенности $frac<0><0>$.

Схема решения стандартных примеров такого типа обычно состоит из двух шагов:

• Избавляемся от иррациональности, вызвавшей неопределенность, домножая на так называемое «сопряжённое» выражение;
• При необходимости раскладываем выражение в числителе или знаменателе (или и там и там) на множители;
• Сокращаем множители, приводящие к неопределённости, и вычисляем искомое значение предела.

Термин «сопряжённое выражение», использованный выше, будет детально пояснён в примерах. Пока что останавливаться на нём подробно нет резона. Вообще, можно пойти иным путём, без использования сопряжённого выражения. Иногда от иррациональности может избавить удачно подобранная замена. Такие примеры редки в стандартных контрольных работах, поэтому на использование замены рассмотрим лишь один пример №6 (см. вторую часть данной темы).

Нам понадобится несколько формул, которые я запишу ниже:

Кроме того, предполагаем, что читатель знает формулы для решения квадратных уравнений. Если $x_1$ и $x_2$ – корни квадратного трёхчлена $ax^2+bx+c$, то разложить его на множители можно по следующей формуле:

egin ax^2+bx+c=acdot(x-x_1)cdot(x-x_2) end

Формул (1)-(5) вполне хватит для решения стандартных задач, к которым мы сейчас и перейдём.

Так как $lim_(sqrt<7-x>-2)=sqrt<7-3>-2=sqrt<4>-2=0$ и $lim_ (x-3)=3-3=0$, то в заданном пределе мы имеем неопределённость вида $frac<0><0>$. Раскрыть эту неопределённость нам мешает разность $sqrt<7-x>-2$. Для того, чтобы избавляться от подобных иррациональностей, применяют умножение на так называемое «сопряжённое выражение». Как действует такое умножение мы сейчас и рассмотрим. Умножим $sqrt<7-x>-2$ на $sqrt<7-x>+2$:

Чтобы раскрыть скобки применим формулу №1, подставив в правую часть упомянутой формулы $a=sqrt<7-x>$, $b=2$:

Как видите, если умножить числитель на $sqrt<7-x>+2$, то корень (т.е. иррациональность) в числителе исчезнет. Вот это выражение $sqrt<7-x>+2$ и будет сопряжённым к выражению $sqrt<7-x>-2$. Однако мы не вправе просто взять и умножить числитель на $sqrt<7-x>+2$, ибо это изменит дробь $frac<sqrt<7-x>-2>$, стоящую под пределом. Умножать нужно одовременно и числитель и знаменатель:

Теперь вспомним, что $(sqrt<7-x>-2)(sqrt<7-x>+2)=3-x$ и раскроем скобки. А после раскрытия скобок и небольшого преобразования $3-x=-(x-3)$ сократим дробь на $x-3$:

Неопределенность $frac<0><0>$ исчезла. Сейчас можно легко получить ответ данного примера:

Замечу, что сопряжённое выражение может менять свою структуру – в зависимости от того, какую именно иррациональность оно должно убрать. В примерах №4 и №5 (см. вторую часть данной темы) будет использован иной вид сопряжённого выражения.

Так как $lim_(sqrt-sqrt<7x^2-19>)=sqrt<2^2+5>-sqrt<7cdot 2^2-19>=3-3=0$ и $lim_(3x^2-5x-2)=3cdot2^2-5cdot 2-2=0$, то мы имеем дело с неопределённостью вида $frac<0><0>$. Избавимся от иррациональности в знаменателе данной дроби. Для этого доможим и числитель и знаменатель дроби $frac<3x^2-5x-2><sqrt-sqrt<7x^2-19>>$ на выражение $sqrt+sqrt<7x^2-19>$, сопряжённое к знаменателю:

Вновь, как и в примере №1, нужно использовать формулу №1 для раскрытия скобок. Подставив в правую часть упомянутой формулы $a=sqrt$, $b=sqrt<7x^2-19>$, получим такое выражение для знаменателя:

Вернёмся к нашему пределу:

В примере №1 практически сразу после домножения на сопряжённое выражение произошло сокращение дроби. Здесь перед сокращением придётся разложить на множители выражения $3x^2-5x-2$ и $x^2-4$, а уж потом перейти к сокращению. Чтобы разложить на множители выражение $3x^2-5x-2$ нужно использовать формулу №5. Для начала решим квадратное уравнение $3x^2-5x-2=0$:

Подставляя $x_1=-frac<1><3>$, $x_2=2$ в формулу №5, будем иметь:

$$ 3x^2-5x-2=3cdotleft(x-left( -frac<1><3>
ight)
ight)(x-2)=3cdotleft(x+frac<1><3>
ight)(x-2)=left(3cdot x+3cdotfrac<1><3>
ight)(x-2) =(3x+1)(x-2). $$

Теперь настал черёд разложить на множители выражение $x^2-4$. Воспользуемся формулой №1, подставив в неё $a=x$, $b=2$:

Используем полученные результаты. Так как $x^2-4=(x-2)(x+2)$ и $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, то:

Сокращая на скобку $x-2$ получим:

Всё! Неопределённость исчезла. Ещё один шаг и мы приходим к ответу:

В следующем примере рассмотрим случай, когда иррациональности будут присутствовать как в числителе, так и в знаменателе дроби.

Так как $lim_(sqrt-sqrt)=sqrt<9>-sqrt<9>=0$ и $lim_(sqrt-sqrt<5x-9>)=sqrt<16>-sqrt<16>=0$, то мы имеем неопределённость вида $frac<0><0>$. Так как в данном случае корни наличествуют и в знаменателе, и в числителе, то дабы избавиться от неопределённости придется домножать сразу на две скобки. Во-первых, на выражение $sqrt+sqrt$, сопряжённое числителю. А во-вторых на выражение $sqrt-sqrt<5x-9>$, сопряжённое знаменателю.

Раскрывая скобки с помощью формулы №1, получим:

Возвращаясь к рассматриваемому пределу, имеем:

Осталось разложить на множители выражения $-x^2+x+20$ и $x^2-8x+15$. Начнем с выражения $-x^2+x+20$. Чтобы разложить его на множители требуется решить уравнение $-x^2+x+20=0$, а затем воспользоваться формулой №5:

Для выражения $x^2-8x+15$ получим:

Подставляя полученные разожения $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ и $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ в рассматриваемый предел, будем иметь:

В следующей (второй) части рассмотрим ещё пару примеров, в которых сопряжённое выражение будет иметь иной вид, нежели в предыдущих задачах. Главное, помните, что цель использования сопряжённого выражения – избавиться от иррациональности, вызывающей неопределённость.

Если дробь содержит корень в знаменателе, то мы говорим об иррациональности в знаменателе дроби. Часто бывает необходимо освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. То есть заменить исходную дробь, содержащую иррациональность в знаменателе на тождественно равную ей дробь, которая иррациональность не содержит. Как это сделать?

Общее правило такое: нужно числитель и знаменатель дроби умножить на выражение, сопряженное знаменателю дроби.

Выражение А называется сопряженным иррациональному выражению В, если произведение АВ не содержит знака корня, то есть произведение АВ является рациональным числом.

Рассмотрим примеры сопряженных выражений.

1. Иррациональное выражение В содержит квадратный корень.

Возможны два случая:

a) . В этом случае :

Например, чтобы исключить иррациональность из знаменателя в дроби , нужно числитель и знаменатель дроби умножить на , получим

Внимание! Обязательно умножаем на выражение, сопряженное знаменателю и числитель, и знаменатель дроби – только в этом случае мы получим дробь, тождественно равную исходной.

б) , =0;

b>=0, a<>b»/>

В этом случае сопряженным выражением будет дополняющее до разности квадратов:

Для выражения сопряженным будет :

Соответственно, для выражения сопряженным будет :

Например, исключим иррациональность из знаменателя дроби

Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на

Получим:

2. Иррациональное выражение В содержит корень n-й степени:

В этом случае сопряженное выражение :

Пример: исключим иррациональность из знаменателя дроби

Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение . Получим:

3. Иррациональное выражение В является одним из множителей в разложении на множители разности или суммы кубов. В этом случае сопряженным ему выражением будет второй множитель:

Исключим иррациональность из знаменателя дроби:

Рассмотрим пример упрощения выражения, содержащего иррациональность в знаменателе дроби.

Найти значение выражения:

Внимание! Если нужно упростить выражение, содержащее иррациональность в знаменателе, то первым делом исключаем иррациональность из знаменателя, даже если кажется, что без этого можно обойтись.

Итак, исключим иррациональность из знаменателя первой и второй дроби:

Подставим полученные выражения в исходное:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник: http://rg-gaming.ru/kompjutery/domnozhit-na-soprjazhennoe-jeto

Метод возведения в степень.

Данный метод является одним из наиболее известных методов решения иррациональных выражений. При использовании данного метода, следует не забывать, что всякое уравнение и неравенство всегда можно возвести в нечетную степень, ведь это преобразование является равносильным. А если уравнение нужно возвести в четную степень, то в общем случае получается переход к следствию, что допустимо, если возможна проверка корней. Если же при решении проверка невозможна или крайне затруднительна по какой-либо причине (например, при решении неравенств и некоторых уравнений получается бесконечное число корней), то необходимо сохранять равносильность преобразований. Для этого перед каждым возведением в четную степень надо не забывать выписывать условия, при которых обе части уравнения будут неотрицательны. Если уравнение или неравенство содержит несколько радикалов, то для избавления от них придется несколько раз возводить в степень исходное уравнение или неравенство. В таком случае перед очередным возведением в степень используют прием уединения радикала. В общем виде данный метод можно записать так:

fx =gx ⟺ gx≥0,fx=g2x.

Для иррациональных неравенств метод возведения в степень будет выглядеть так:

fx<gx ⇔ fx≥0,gx>0,fx2<gx2.

fx>gx⇔fx>0,gx≥0,fx2>gx2 ∧ fx≥0,gx<0. [2, с.26]

При использовании данного метода выражение, которое содержит радикал, одновременно умножается и делится на сопряженное к нему выражение. В результате такого преобразования иррациональность пропадает, и решение уравнения или неравенства значительно упрощается. Причем нельзя забывать о потере или приобретении лишних корней.

Пусть S – некоторое выражение, содержащее корни. Сопряженным множителем относительно S будет являться такое выражение Q, не равное тождественно нулю, а также такое, что произведение S∙Q не будет содержать корней.

Так для выражения S=nxp∙yq∙…∙zl, где p, q,…,l – натуральные числа, меньшие n, сопряженный множитель будет иметь вид

Q=nxn-p∙yn-q∙…∙zn-l , так как S∙Q=x∙у∙…∙z.

Для выражений вида S=x ±у (x,у≥0) сопряженный множитель

Q=x ∓у , так как S∙Q=x2- у2=x-у .

А для выражений вида S=3x±3у сопряженным множителем будет являться выражение вида

Q=3×2∓3xy+3у2 , так как S∙Q=3×3±3у3=x±у .

Для выражения вида S=nx-ny (x,e≥0, n∈N, n≥4) сопряженный множитель выглядит так

Q=nx n-1 +nxn-2у+…+пхуп-2+пуп-1 ,

так как S∙Q=nxn- nxn =x-у.

Выражение вида S=nx+n у имеет сопряженный множитель, который находится на основании формул сокращенного умножения

a2n+b2n=(a+b)(a2n-1-a2n-2b+…+ab2n-2-b2n-1 ,

a2n+1+b2n+1=(a+b)(a2n-a2n-1b+…-ab2n-1+b2n. [14 с.228-229]

Рационализирующие подстановки. Данный метод позволяет преобразовать иррациональное уравнение (неравенство) к рациональному виду. В таком случае можно говорить о рационализации уравнений и неравенств. Этот метод обычно применяется, если в уравнении (неравенстве) неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от переменной. Тогда можно обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и решить задачу относительно новой переменной, а только потом найти исходную неизвестную. Зачастую некоторые иррациональные уравнения и неравенства удается решить только при помощи введения двух вспомогательных переменных и последующего перехода к рациональной системе. Иногда подходящей заменой переменной иррациональное уравнение или неравенство можно свести к тригонометрическому уравнению или неравенству. Наиболее распространенной является подстановка пах+b=t. [17 с.17]

Решение уравнений (неравенств) на отдельных промежутках ОДЗ. Учет ОДЗ. В некоторых случаях может возникнуть необходимость разбить ОДЗ уравнения (неравенства) на отдельные промежутки, а затем на каждом из них решать данную задачу. Такая ситуация может возникнуть при выполнении преобразований, которые связаны с необходимостью разбить корень из произведения двух чисел или выражений на произведение корней, или если необходимо внести какую-либо величину под знак корня четной степени.

аЬ=аЬ , если a≥0, b≥0;-a-b, если a≤0, b≤0.

ab=a2b, если a≥0;-a2b, если a≤0. [11 с.73]

Данный метод основан на применении формулы a2 =a. [11 с.74]

Классификация иррациональных уравнение и неравенств по методам их решения

Каждый из выявленных выше методов подходит для решения не всех иррациональных уравнений и неравенств. Поэтому имеет место классификация иррациональных уравнений (неравенств) по методам их решения.

Метод возведения в степень подходит для решения большинства распространенных видов иррациональных уравнений и неравенств. Для каждого из таких видов существует стандартная схема решения.

Уравнения вида fx =gx ⟺ gx≥0,fx=g2x.

Неравенства вида fx<gx ⇔ fx≥0,gx>0,fx2<gx2;

fx≤gx ⇔ fx≥0,gx≥0,fx2≤gx2.

Неравенства вида

f(x)≥g(x)⇔gx≥0fx≥g2xg(x)<0fx≥0; и

f(x)>g(x)⇔gx≥0fx>g2xg(x)<0fx≥0. [18 с.78]

Уравнения вида fx=g(x)⇔fx≥0 или gx≥0fx=gx.

Неравенства вида

fx≤g(x)⇔fx≥0 fx=gx; fx<g(x)⇔fx≥0fx<gx.

Уравнения вида nf(x)=mgx⇔x ∈ОДЗnfxНОК (n,м)=mgxНОК (n,м).

Неравенства вида

2n+1f(x)<2n+1g(x) ⇔fx<gx;

2n+1f(x)≤2n+1g(x) ⇔fx≤gx.

Используя метод умножения на сопряженное можно решить практически любое иррациональное уравнение (неравенство). Главным условием является наличие в одной из частей иррационального уравнения (неравенства) выражения, содержащего радикал, к которому можно найти сопряженное отличное от нуля.

Для большинства подстановок необходимы какие-то условия или наличие некоторого выражения в составе уравнения (неравенства), которое можно заменить определенным образом.

Так уравнения вида пах+b±mcx+d=p (где a, b, с, d – некоторые числа, n, м – натуральные, которые обычно не превосходят 4) решаются обычно двойной подстановкой v=nax+b и и=мсх+d, благодаря которой получаем уравнение v+и=p.

Для таких тригонометрических подстановок как x=a sint, t∈-π2;π2 и x=a cost, t∈0;π необходимо наличие в уравнении или неравенстве радикала a2 -x2.

Для замены x=a tant, t∈-π2;π2 или x=acott, t∈0;π необходим радикал a2 +x2.

Если в иррациональном уравнении (неравенстве) присутствует радикал x2-a2, то можно говорить о подстановке вида x=asint, t∈-π2;π2 и x=acost, t∈0;π. [14 с.233-236]

Метод учета ОДЗ и решения задачи на отдельных промежутках ОДЗ не требует от иррациональных уравнений и неравенств определенных требований. Но, например, корни неравенства f(x)>-p можно найти, определив ОДЗ, так как левая часть неравенства всегда больше правой.

Для метода выделения полных квадратов необходимо чтобы под знаком одного радикала второй степени находились две переменные или два выражения, содержащие неизвестную, степени которых различаются в два раза. Например, в уравнении вида x2+2ax+a2-x+b2-2bx=p под знаками радикала можно выделить полные квадраты выражений и использовать формулу a2 =a, и в результате получится следующее уравнение x+a-x-b=p.

Скачать текст в WORD

Источник: http://vuzru.ru/osnovnye-metody-resheniya-irratsionalnyh-uravnenij-i-neravenstv/

Определение иррациональности

Часто в задачах по математике можно встретить примеры, которые содержат иррациональность. Если условие направлено на избавление от нее, значит, нужно выполнить математические действия с рациональными числами. Иррациональны дроби, нижняя часть которых содержит подкоренное выражение.

Присутствие квадратного корня в математическом примере следует исключить, согласно правилу, требующему преобразования в рациональное число радикала. В результате действий он будет в числителе. Преобразованный пример, содержащий иррациональность, не теряет своего исходного значения.

Источник: http://nauka.club/matematika/irratsionalnost-drobi.html

Свойства сопряженных чисел.

Еще некоторые соотношения:

Доказательство :

=a1a2 – b1b2 – (a1b2 + a2b1)i.

= (a1 – b1i)(a2 – b2i) =

= a1a2 – (–b1)  (–b2) + (a1  (–b2) + a2  (–b1))i =

= a1a2 – b1b2 – (a1b2 + a2b1)i, 

 что и требовалось доказать.

Обобщим: , где  — произвольно взятый многочлен с вещественными коэффициентами. Отсюда видно, что у многочлена с вещественными коэффициентами есть или лишь действительные корни, или, если он имеет корни с не равной нулю мнимой частью, то они разбиваются на пары комплексно-сопряженных.

Умножение числителя и знаменателя комплексной дроби при комплексном знаменателе на сопряженное к знаменателю выражению используют для того, что бы избавиться от комплексности знаменателя. Это дает возможность выразить выражение в канонической форме комплексного числа или функции.

Значимость сопряжения объясняют тем, что оно есть образующей группы Галуа .